Complejidad (¿matemática?) en la naturaleza (Parte I)

Publicado por Ezequiel L

¿Cómo puede un universo empezar con unos pocos tipos de partículas elementales en el big bang y acabar generando vida, literatura e incluso este blog? ¿por qué el big bang no acabó simplemente provocando una nube de polvo o un cristal gigante? Aquí entra en juego un concepto, llamado complejidad (mental o matemático, dependerá de cada uno).

El comportamiento complejo en la naturaleza refleja una tendencia de grandes sistemas con muchos componentes a evolucionar a estados ‘críticos‘, que lejos de ser ‘equilibrados’, es un punto en el que cualquier estímulo podría provocar una avalancha en todo el sistema (¿¿Nos suena de algo??).
La mayoría de los cambios en la naturaleza tienen lugar a través de eventos catastróficos y no por una evolución suave y gradual.

Este llamado estado crítico se establece por la interacciones incesantes entre cada uno de los individuos del conjunto: otro concepto para nuestro paladar, la auto-organización.

Aunque nos suene a sindicalismo, la criticalidad auto-organizada es el único mecanismo conocido para generar complejidad.

Seamos un poco más gráficos, imaginemos el típico niño aburrido ese día de Agosto en la playa, cogiendo un puñado de arena y dejándola caer para formar una pila grano a grano. Al principio, el montón de arena es casi plano y cada grano se queda cerca de donde cayó y su comportamiento puede entenderse con las leyes de la física aplicadas a cada grano. A medida que el montón empieza a hacerse cada vez más grande, van creciendo la pendiente en los laterales de la pila. Eventualmente, parte de la arena puede deslizarse por la pendiente o incluso casi toda la arena. En este punto, el sitema está lejos de un equilibrio y su comportamiento no puede entenderse a partir del comportamiento de los granos individuales. Las dinámicas de las avalanchas forman una dinámica en sí misma, cuando un sistema se comporta así, decimos que es COMPLEJO.

(Nos sigue sonando?)

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de acuerdo con las leyes de la física. Una ley de Newton que nos dice como se mueve un objeto, una ley de Maxwell que nos dice como interacciona magnetismo y electricidad, etc. Pero por simple que sea la ecuación y la situación, la matemática se puede volver increíblemente difícil. Por ejemplo el movimiento de dos planetas en el campo gravitatorio del Sol y los demás planetas, podríamos dejarnos la mano haciéndolo. Afortunadamente hoy existen ordenadores a los que podemos engañar para que lo hagan por nosotros, como en la simulación que vemos en el vídeo. Alguien le pone leyes físicas a una nube de gas y venga, a correr unos billones de años (a cámara rápida).

Es por esto, que existen conceptos que nosotros conocemos muy bien como la presión y la temperatura, conceptos macroscópicos que nos reflejan estadísticamente qué pasa a nivel microscópico. Digamos que no sentimos átomo a átomo al tocar algo caliente, sino un promedio de sus movimientos en conjunto. ¿Esto es muy profundo verdad?

Bueno, a donde iba, el objetivo científico de introducir una teoría de complejidad es predecir, pero me temo que aún estamos en la frontera del estudio a posteriori de este comportamiento. Eso no nos impide disfrutar iluminándonos con sus manisfetaciones.
Por ejemplo los terremotos, ¿parece algo como la pila de arena no?, hay unos movimientos tectónicos, unos elementos que interaccionan, una especie de acumulación de presión y la avalancha, el terremoto. La escala de Richter no es ningún capricho, surge a partir de la observación de que por cada 1000 terremotos de magnitud 4, habrá 5 de magnitud 100 , 10 de magnitud 6,…
Representando esto en escala logarítmica (ponemos en un eje 10,100,1000,… en lugar de 1,2,3,…)

Captura de pantalla de 2015-02-17 12:48:21Lo que vemos es una línea recta, la mismísima ley de Gutenberg-Richter, a este tipo de representación es a lo que llamamos una ley de potencias.
Y aquí lo impresionante, cómo algo que tiene tantas variables como un terremoto, millones de elementos que interaccionan entre sí como piezas de dominó, resultan en algo tan bello y simple.
A los más peseteros se les estará pasando por la cabeza “¡¡La Bolsa!!”, pues sí, se han estudiado variaciones de precios, por ejemplo el precio del algodón, este ejemplo es de 1963

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La gráfica de la izquierda muestra la variación del precio por mes y la de la derecha el número de veces que se supera cierto valor. Sin embargo, como ya he dicho, al ser estudio a posteriori, nadie puede hacerse rico sólo conociendo esto, ohhhhhh lástima… Qué va..

Si alguna vez has ido en un avión y te has preguntado cuánto mide la longitud de una costa con entrantes y salientes y que cuanto más afines la medida, más salientes habrá que medir, no has sido el primero, pero tienes una mente privilegiada y te gustará lo que hizo Mandelbrot, que definió este comportamiento como fractal.

Captura de pantalla de 2015-02-17 13:18:04 Captura de pantalla de 2015-02-17 13:18:15

Aquí podemos ver la costa de Noruega con sus fiordos y qué ocurre si representamos la longitud de costa obtenida en función del número de cajas de tamaño d para cubrirla, pues volvemos a obtener una maravillosa ley de potencias. El tema de los fractales es impresionante y muy amplio, volveremos sobre él en este blog.

Por último veamos un par de ejemplos curiosos más. Y si normalmente, de nuestro comportamiento emergen también este tipo de leyes. La respuesta:

Captura de pantalla de 2015-02-17 13:28:21Ranking de ciudades frente a su número de habitantes, en una región aleatoria.

Captura de pantalla de 2015-02-17 13:28:36En la lengua inglesa, cuántas palabras se usan con cuánta frecuencia.

La lista de fenómenos es larga, wikipedia nos da una idea:

Iremos pasando por algunos de estos temas, de manera más o menos interesante y os animo a que indaguéis e imaginéis vosotros también.

Referencias:

  • How nature works?- Per Bak
  • http://en.wikipedia.org/wiki/Power_law

zkielphy

2 Comments

  1. Una de las razones por la que me fascinan las matemáticas es porque tienen la capacidad de revelar y expresar la unidad que subyace a fenómenos en apariencia tan distantes como un terremoto o la cotización de un valor en bolsa.
    El concepto de sistema complejo y autoorganizado me ha recordado al mercado. Creo que se le puede aplicar plenamente.
    Por cierto, este blog es el mejor “braintraining” que conozco…

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